Regra de Três Simples e Composta

Regra de Três Simples e Composta

A regra de três é um processo matemático para a resolução de muitos problemas que envolvem duas ou mais grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.

Nesse sentido, na regra de três simples, é necessário que três valores sejam apresentados, para que assim, descubra o quarto valor.

Em outras palavras, a regra de três permite descobrir um valor não identificado, por meio de outros três. A regra de três composta, por sua vez, permite descobrir um valor a partir de três ou mais valores conhecidos.

Grandezas Diretamente Proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, o aumento de uma implica no aumento da outra na mesma proporção.

Grandezas Inversamente Proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, o aumento de uma implica na redução da outra.

Exercícios Regra de Três Simples

Exercício 1

Para fazer o bolo de aniversário utilizamos 300 gramas de chocolate. No entanto, faremos 5 bolos. Qual a quantidade de chocolate que necessitaremos?

Inicialmente, é importante agrupar as grandezas da mesma espécie em duas colunas, a saber:

1 bolo 300 g
5 bolos x

Nesse caso, é a nossa incógnita, ou seja, o quarto valor a ser descoberto. Feito isso, os valores serão multiplicados de cima para baixo no sentido contrário:

1x = 300 . 5
1x = 1500 g

Logo, para fazer os 5 bolos, precisaremos de 1500 g de chocolate ou 1,5 kg. Note que trata-se de um problema com grandezas diretamente proporcionais, ou seja, fazer mais quatro bolos, ao invés de um, aumentará proporcionalmente a quantidade de chocolate acrescentado nas receitas.

Exercício 2

Para chegar em São Paulo, Lisa demora 3 horas numa velocidade de 80 km/h. Assim, quanto tempo seria necessário para realizar o mesmo percurso numa velocidade de 120 km/h?

Da mesma maneira, agrupa-se os dados correspondentes em duas colunas:

80 km/h 3 horas
120 km/h x

Observe que ao aumentar a velocidade, o tempo do percurso diminuirá e, portanto, tratam-se de grandezas inversamente proporcionais. Em outras palavras, o aumento de uma grandeza, implicará na diminuição da outra. Diante disso, invertemos os termos da coluna para realizar a equação:

120 km/h 3 horas
80 km/h x

120x = 240
x = 240/120
x = 2 horas

Logo, para fazer o mesmo trajeto aumentando a velocidade o tempo estimado será de 2 horas.

Exercício Regra de Três Composta

Para ler os 8 livros indicados pela professora para realizar o exame final, o estudante precisa estudar 6 horas durante 7 dias para atingir sua meta.

Porém, a data do exame foi antecipada e, portanto, ao invés de 7 dias para estudar, o estudante terá apenas 4 dias. Assim, quantas horas ele terá de estudar por dia, para se preparar para o exame?

Primeiramente, agruparemos numa tabela, os valores fornecidos acima:

Livros Horas Dias
8 6 7
8 x 4

Observe que ao diminuir o número de dias, será necessário aumentar o número de horas de estudo para a leitura dos 8 livros. Portanto, tratam-se de grandezas inversamente proporcionais e, por isso, inverte-se o valor dos dias para realizar a equação:

Livros Horas Dias
8 6 4
8 x 7

6/x = 8/8 . 4/7
6/x = 32/56 = 4/7
6/x = 4/7
4 x = 42
x = 42/4
x = 11 horas

Logo, o estudante precisará estudar 11 horas por dia, durante os 4 dias, a fim de realizar a leitura dos 8 livros indicados pela professora.

Exercícios de Regra de Três

regra de três é um procedimento usado para a resolução de problemas que envolvem grandezas que são proporcionais.

Pelo fato de ter uma enorme aplicabilidade, é muito importante saber resolver problemas utilizando essa ferramenta.

Portanto, aproveite os exercícios comentados e questões de concursos resolvidas para verificar seus conhecimentos sobre esta matéria.

Exercícios Comentados

Exercício 1

Para alimentar o seu cão, uma pessoa gasta 10 kg de ração a cada 15 dias. Qual a quantidade total de ração consumida por semana, considerando que por dia é sempre colocada a mesma quantidade de ração?

Solução

Devemos sempre começar identificando as grandezas e as suas relações. É muito importante identificar corretamente se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

Neste exercício as grandezas quantidade total de ração consumida e o número de dias são diretamente proporcionais, pois quanto mais dias maior será a quantidade total gasta.

Para melhor visualizar a relação entre as grandezas, podemos usar setas. O sentido da seta aponta para o maior valor de cada grandeza.

As grandezas cujos pares de setas apontam para o mesmo sentido, são diretamente proporcionais e as que apontam em sentidos contrários, são inversamente proporcionais.

Vamos então resolver o exercício proposto, conforme o esquema abaixo:

Exercício regra de três diretamente proporcional

Resolvendo a equação, temos:

15 x igual a 7.10 x igual a 70 sobre 15 x igual a 4 vírgula 666...

Assim, a quantidade de ração consumida por semana é de aproximadamente 4,7 kg.

Exercício 2

Uma torneira enche um tanque em 6 h. Quanto tempo o mesmo tanque levará para encher, se forem utilizadas 4 torneiras com a mesma vazão da torneira anterior?

Solução

Neste problema, as grandezas envolvidas serão número de torneiras e tempo. Contudo, é importante observar que quanto maior o número de torneiras, menor será o tempo para encher o tanque.

Portanto, as grandezas são inversamente proporcionais. Neste caso, ao escrever a proporção, devemos inverter uma das razões, conforme mostramos no esquema abaixo:

Exercício regra de três inversamente proporcional
Resolvendo a equação:

4 x igual a 6.1 x igual a 6 sobre 4 igual a 1 vírgula 5

Assim, o tanque ficará totalmente cheio em 1,5 h.

Exercício 3

Em uma empresa, 50 funcionários, produzem 200 peças, trabalhando 5 horas por dia. Se o número de funcionários cair pela metade e o número de horas de trabalho por dia passar para 8 horas, quantas peças serão produzidas?

Solução

As grandezas indicadas no problema são: número de funcionários, número de peças e horas trabalhadas por dia. Portanto, temos uma regra de três composta (mais de duas grandezas).

Neste tipo de cálculo, é importante analisar separadamente o que acontece com a incógnita (x), quando mudamos o valor das outras duas grandezas.

Fazendo isso, percebemos que o número de peças será menor se reduzirmos o número de funcionários, portanto, essas grandezas são diretamente proporcionais.

O número de peças aumenta se aumentarmos o número de horas de trabalho por dia. Portanto, também são diretamente proporcionais.

No esquema abaixo, indicamos esse fato através das setas, que apontam para o sentido crescente dos valores.

Regra de três composta

Resolvendo a regra de três, temos:

200 sobre x igual a 250 sobre 200 x igual a numerador 200.200 sobre denominador 250 fim da fração igual a 160

Assim, serão produzidas 160 peças.

Questões de Concurso Resolvidas

1) Epcar – 2016

Duas máquinas A e B de modelos diferentes, mantendo cada qual sua velocidade de produção constante, produzem juntas n peças iguais, gastando simultaneamente 2 horas e 40 minutos. A máquina A funcionando sozinha, mantendo sua velocidade constante, produziria, em 2 horas de funcionamento, n/2 dessas peças.

É correto afirmar que a máquina B, mantendo sua velocidade de produção constante, produziria também n/2 dessas peças em

a) 40 minutos.
b) 120 minutos.
c) 160 minutos.
d) 240 minutos.

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bbraga

Sobre bbraga

Atuo como professor de química, em colégios e cursinhos pré-vestibulares. Ministro aulas de Processos Químicos Industrial, Química Ambiental, Corrosão, Química Geral, Matemática e Física. Escolaridade; Pós Graduação, FUNESP. Licenciatura Plena em Química, UMC. Técnico em Química, Liceu Brás Cubas. Cursos Extracurriculares; Curso Rotativo de química, SENAI. Operador de Processo Químico, SENAI. Curso de Proteção Radiológica, SENAI. Busco ministrar aulas dinâmicas e interativas com a utilização de Experimentos, Tecnologias de informação e Comunicação estreitando cada vez mais a relação do aluno com o cotidiano.

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